Как сделать паркет эшера

Построение мозаик в стиле Мориса Эшера

В геометрии под мозаикой (паркетом) понимают заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами мозаики), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда мозаикой называют заполнение плоскости несколькими фигурами, например, правильными многоугольниками). Обычный тетрадный лист в клеточку представляет собой простейшую геометрическую мозаику. Элементом здесь является квадрат. Элементами мозаики могут быть также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов. Некоторые из них изображены на рис. 1.

Придуманы мозаики, у которых несколько элементов образуют фигуру, подобную элементу мозаики. Примеры таких паркетов приведены на рис. 2.

На рис. 3 приведен элемент простой мозаики, который разбит на рисунке справа на четыре одинаковые фигурки — элементы новой мозаики. А на рис. 4 показаны элементы новой мозаики, также состоящие из четырех таких фигурок.

На рис. 5 приведена мозаика-паркет, элементами которой являются одинаковые пятиугольники с углами 90°, 120°, 60°, 240° и 30°, которые получились разбиением правильного шестиугольника. Из этих пятиугольников образованы фигуры.

Всего существует 17 видов симметрии сетчатых орнаментов. Они схематично показаны на рис. 6 и 7. Первые семь из них (рис. 6, а-ж ) допускают создание интересных мозаик без прямолинейных контуров.

Мозаики являются прекрасным материалом для интересного и содержательного изучения геометрии и некоторых закономерностей расположения фигур на плоскости. Визуальное представление и необходимость решения с виду простой задачи занимает как детей, так и взрослых. Составление своих рисунков мозаик может стать как профессиональной задачей дизайнера, так и уроком для школьников.

Одни из самых знаменитых рисунков мозаик придумал голландский художник Морис Эшер. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий, находящиеся в определенном порядке по отношению друг к другу.

На рис. 8 и 9 представлено несколько фигур, получить мозаику из которых можно геометрической операцией параллельного переноса. На деле это означает, что фигурка смещается на некоторое расстояние и как бы вкладывается в предыдущую, не меняя своего положения. Если в качестве меры растояния взять 1 клеточку, то рассчитав, на какое количество клеточек нужно смещать фигурку вверх и вправо, получим два числа, определяющих вектор перемещения. Для школьников интересно проследить связь между параллельными переносами и векторами и возможность разложения каждого вектора полученного векторного пространства по двум базисным векторам. Для взрослых — поиграться с неправильным копированием образца. Изменение вектора может привести к получению интересных мозаичных рисунков.

На рис. 10 показаны заполнения плоскости различными фигурами, дающими полностью покрытую плоскость мозаики. Эта мозаика отличается от предудущих тем, что для заполнения плоскости образец нужно не только сдвинуть на определенное число клеток, но и использовать зеркальное отражение или повернуть относительно некоторой точки — центра симметрии.

Общий принцип построения мозаик из сложных фигур (рисунков животных, растений, объектов с криволинейными формами) с использованием различных видов симметрии можно описать как постепенный переход от простых фигур » по тетрадным клеточкам» к более сложным. Начав с простых квадратов и четырехугольников, постепенно усложняя и развивая фигуры, получаем сначала примитивное схематичное изображение, затем добавлением деталей и скруглением форм получаем детализированное изображение со сглаженным контуром.

На рис. 11 и 12 представлены элементы мозаики в виде фигурок животных и птиц. Примерно такими же формами оперировал Морис Эшер в своих знаменитых рисунках ящериц, рыб, птиц. Далее представлены мозаики, разработанные в таком же стиле. Автор рисунков — А. Цукарь. Используя представленную информацию, создать свою собственную мозаику в стиле Эшера может, в общем-то даже школьник.

Мозаики, подобные приведенным, универсальны по применению. Разработка мозаичных элементов может отталкиваться не от форм живых существ, а от различных объектов символики, техногенных и урбанистических форм, пиктограмм и прочего. Одним из факторов популярности мозаик Эшера является их способность заставлять зрителя погружаться в изучение подробностей рисунка — от мелких деталей к крупным, от восприятия в целом к сосредоточению на одном элементе. Разглядывание мозаик — отличный способ расслабления и отдыха, приведения мыслей в порядок, и даже медитации. Декорирование пространства мозаикой собственной разработки — это и дополнительные возможности формирования позитивного настроения путем использования конкретных образов, формирующих положительное впечатление. Творите на радость себе.

Источник

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПАРКЕТ ГЛАЗАМИ М.К. ЭШЕРА

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПАРКЕТ ГЛАЗАМИ М.К. ЭШЕРА

Солодуша Пётр Юрьевич

Лицей №1, группа 8-7, 8

г. Иркутск, 2014/2015 учебный год

Консультанты: Золотарёва Елена Алексеевна (учитель информатики МБОУ «СОШ №24»),

Демидова Светлана Владимировна (учитель математики МБОУ «Лицей №1»).

Введение

Актуальность. Известнейший ученый Карл Фридрих Гаусс говорил: «Математика – Царица наук». Я провел опрос среди 90 учащихся из МБОУ СОШ № 24, МБОУ «Лицей №1» и МБОУ «Лицей ИГУ» г. Иркутска: «Интересуетесь ли Вы книгами (журналами) по занимательной математике?». 28% опрошенных учеников ответили утвердительно. Это показывает важность проведения мероприятий по теме «Занимательная математика». Я люблю читать книги Якова Исидоровича Перельмана «Занимательная арифметика», «Живой учебник геометрии», «Занимательная алгебра», а также журнал «Квант». Читая эти книги, я узнал, что математика присутствует во многих областях знаний, даже в музыке и живописи.

В начальной школе я придумал сказочную историю про Математику – Царицу наук [1]. В этой сказке использована информация из журнала “Квант” [2], где впервые я познакомился с рисунками Маурица Корнелиса Эшера. Картины этого голландского художника наглядно иллюстрируют некоторые математические законы [3], например, мозаичное разбиение плоскости («геометрический паркет») и даже геометрию Лобачевского [4, c. 51], основы которой изучают в высших учебных заведениях. Ориентируясь на школьную программу для учеников средних классов, я выбрал тему «Геометрический паркет глазами М.К. Эшера». При подготовке данного исследования использовались связи с предметами развивающего и гуманитарного цикла. Представленные материалы могут быть использованы в качестве учебного пособия на уроках изобразительного искусства, факультативных занятиях по математике и информатике.

Гипотеза. Картины голландского художника М.К. Эшера помогают изучить тему «Геометрический паркет».

Цель работы: изучить предметную область и разработать презентацию для учащихся средних классов.

Задачи:

1. изучить основы картин М.К. Эшера;
2. сделать иллюстративный материал для кабинета математики;
3. разработать несколько узоров на примере базовых фигур, реализовать их с помощью графического редактора Paint.;
4. на основе собственных узоров сделать игру для составления паркетов в редакторе электронных таблиц Microsoft Excel;
5. выполнить презентацию в PowerPoint.

Методы исследования включали теоретическую и практическую часть. Теоретическая часть:

• изучение сведений по теме «Геометрический паркет», поиск информации о художнике Эшере и его картинах в сети Internet, энциклопедиях, справочниках, журналах.
• сравнительный анализ.

• опрос учащихся;
• проведение классного часа;
• фотографирование, работа с графическими редакторами Photoshop, Paint; редактором электронных таблиц Microsoft Excel.

1. Геометрические фигуры в картинах М.К. Эшера

Мауриц Корнелис Эшер [5] родился 17 июня 1898 в г. Леуварден в Нидерландах, умер 27 марта 1972. Для художника «оболочка видимого мира была лишь кусочком ткани, которую можно самым чудесным образом резать, складывать, придавать ей любую форму» [6]. Интерес к мозаикам у художника проявился в 1936 во время путешествия в Испании под влиянием геометрических орнаментов Альгамбры (дворец в испанском городе Гранада) [7]. Данная информация указана в презентации на слайде №5.

Геометрический паркет – это заполнение поверхности многоугольниками без щелей и наложения фигур. Изображения всех геометрических фигур, используемых в картинах художника, приведены на фото 1 [6].

Фото 1. «Базовые» фигуры Эшера.

Это квадрат, прямоугольник, параллелограмм, треугольник, ромб и шестиугольник. Так как с помощью круга нельзя построить паркет, то художник не использовал эту геометрическую фигуру (слайд №6 в презентации).

Свою работу над презентацией я начал с изучения картин Эшера. На рисунках 1-4 приведены фрагменты некоторых картин художника.

Рисунок 1. Фрагмент картины «Птицы».

Рисунок 2. Фрагмент картины «Рыбы».

Рисунок 3. Фрагмент картины «Две птицы» (1 вариант).

Рисунок 4. Фрагмент картины «Две птицы» (2 вариант).

Синим цветом я выделил варианты геометрических фигур (квадрат, треугольник, ромб, параллелепипед), которые возможно послужили художнику основой для создания образов животных. Разноцветными стрелками я отметил те участки геометрической фигуры, которые нуждаются в параллельном переносе (слайд № 7 в презентации).

Только 50% учащихся (см. Приложение 1) ответили правильно на вопрос о том, какая «базовая фигура» была использована Эшером при создании картины «Птицы» (см. рис. 1), поэтому я сфотографировал процесс превращения квадрата в птицу. Когда я выполнял фотографии, сочинил стихотворение:

Жил-был Квадрат, любил мечтать,

Но вдруг решил он полетать.

Поможем мы ему слегка.

Изменим у него бока.

Сначала справа уберем,

И сверху малость отщипнем.

Внизу немного изгибаем,

И снова справа отрезаем,

Квадрату — крылья оформляем.

И вот уже птенец готов.

Взмахнул крылом — и был таков!

Иллюстрации к стихотворению приведены на фото 2-8 (см. также слайды №8-11 в презентации).

Источник

Проектная работа по внеурочной деятельности. «Паркет Эшера . Принципы построения»

Паркеты, мозаика, рисунки и

математический мир Мориуса Эшера.

Проект подготовила: Демченко Екатерина-7 кл.

Руководитель : Генн Екатерина Дмитриевна-

Гипотеза, цели, задачи исследования………………………………………..

Художник и геометр М. Эшер……………………..…………………………

Исследование работ Эшера…………………………………………….

Мозаика и паркеты в работах Эшера……………..……………….

Паркеты из правильных многоугольников………….…………….….………

Паркеты в работах Эшера…………………………….

Составляем свой паркет…………………………….……….

Паркет «Земляничная полянка»………………………….……………………

Паркет «Рыба, поглощающая корабль»…….

Приложение 2. Паркет «Земляничная полянка» ………………………..……….

Приложение 3.»Рыба, поглощающая корабль»…………………..………………

Приложение 4. Нарядная футболка……………………. ……………………….

Приложен6ие 5.»Подарочная кружка»………………………….…………………

«Искусство орнамента содержит в неявном виде

наиболее древнюю часть известной нам высшей математики»

«Я мог бы посвятить всю вторую жизнь работе над моими творениями»

На уроках наглядной геометрии нам встретились работы Эшера, и ими заинтересовался весь класс. Его работы были необычными, и всем хотелось понять, как он сумел это сделать.

Я решила узнать больше об искусстве, технике построения паркетов Мориуца Эшера.

Обзор литературы по данной тематике показал, что вопросы, касающиеся геометрических паркетов, освещены достаточно полно у Колмогорова А.Н. [2], Михайлова О.А. [3], Смирновой И.М., Смирнова В.А. [1]. Орнаменты и паркеты Эшера рассматриваются у Шарыгина И.Ф., Ерганжиевой Л.Н. [4]. В литературе, посвящённой творчеству М. Эшера и Интернет-ресурсах [6] даны его работы и совсем нет информации о том, как он составлял свои паркеты-перевоплощения.

Я решила провести своё исследование на эту тему, выдвинув следующую гипотезу.

Гипотеза : если я познакомлюсь с орнаментальным и геометрическим искусством М. Эшера, а затем изучу принципы построения мозаик художника, то я смогу сделать паркет похожий на его.

Исходя из этого, я обозначила для себя цели и задачи проектной работы.

Цель: изучить работы Эшера и научиться составлять паркеты похожие на работы художника.

Познакомиться с биографией Мориса Эшера.

Изучить работы М.Эшера, связанные с паркетами и мозаиками.

Предположить, как сделаны эти работы.

Понять схемы работ Эшера.

Составить схему и придумать свой паркет.

Художник и геометр Мориус Эшер Ма _́ уриц (Мориуц) Корне _́ лиус Э́шер (17.06.1898 – 27.03.1972) – нидерландский художник-график.

Известен, прежде всего, своими концептуальными литографиями, гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов.

Мориуц Корнелиус Эшер родился 17 июня 1898 года в провинции Голландии. В доме, котором родился Эшер, сейчас находится музей.

С 1907 года Мориуц учился плотницкому делу и игре на пианино, обучался в средней школе.

Оценки по всем предметам у Мориуса были плохими за исключением рисования. Учитель рисования заметил талант у мальчика и научил его делать гравюры по дереву.

В его гравюрах и литографиях математики видели ключи к доказательству теорем или оригинальные контрпримеры, бросающие вызов здравому смыслу. На худой конец их воспринимали как прекрасные иллюстрации к научным трактатам по кристаллографии, теории групп, когнитивной психологии или компьютерной графике.

Мориуц Корнелиус Эшер сказал: «Иногда, когда я рисую, мне кажется, будто я медиум, находящийся во власти существ, порождённых моим же воображением. Рыбы становятся птицами.

День ночью. Из хаоса рождается жизнь, она замирает в мёртвых городах, трансформируется в шахматную партию и рассыпается в пыль. Мозаика оживает и превращается в ящериц, они движутся, живут и вновь уходят в орнамент».

Исследование работ Эшера

В 1916 году Эшер выполнил свою первую графическую работу, гравюру на фиолетовом линолеуме —

портрет своего отца Г. А. Эшера. В то время он посещал мастерскую художника Герта Стигемана, имевшего печатный станок для того чтобы изготавливать свои гравюры. На этом самом станке были отпечатаны первые гравюры Эшера (рис.1)

Источник